Les cases d'un échiquier
Combien de carrés peut-on compter sur un échiquier de 1999 cases sur 1999?
(Notez bien que le décompte doit être fait en comptant tous les carrés différents mais de même taille.)
Afficher la réponse
11 | 98 votes
Corsée (30) - Faisable (22) - Assez simple (21) - Trop facile ! (25)
Pour un échiquier 1x1 : 1 carré
Pour un échiquier 2x2 : 5 carrés (1+4)
Pour un échiquier 3x3 : 14 carrés (1+4+9)
On remarque que nous obtenons la suite 1² + 2² + 3² + 4² + ...
On a la formule : Somme des n² = n(n+1)(2n+1)/6
Donc pour n = 1999, cela donne : 1999*2000*3999/6 = 2 664 667 000 cases.
Pour un échiquier 2x2 : 5 carrés (1+4)
Pour un échiquier 3x3 : 14 carrés (1+4+9)
On remarque que nous obtenons la suite 1² + 2² + 3² + 4² + ...
On a la formule : Somme des n² = n(n+1)(2n+1)/6
Donc pour n = 1999, cela donne : 1999*2000*3999/6 = 2 664 667 000 cases.
L'âge de Jules
Le village de Cent-le-Vieux compte exactement 100 habitants.Le plus âgé est né en 1900 et tous les habitants sont nés une année différente, mais tous le 1 er janvier.
En 1999, la somme des quatre chiffres de l'année de naissance de Jules est égale à son âge.
Quel est l'âge de Jules?
Afficher la réponse
-1 | 99 votes
Corsée (28) - Faisable (22) - Assez simple (19) - Trop facile ! (30)
Soit 19ab l'age de Jules (par exemple s'il est né en 1990, on a "a = 9" et "b = 0"). On a alors :
1 + 9 + a + b = 1999 - 1900 - a * 10 - b = 99 - 10a - b
11a * 89 - 2b
a et b sont des chiffres (et non des nombres !), donc 89 - 2b peut valoir 89, 87, 85, 83, 81, 79, 77, 75, 73, 71.
Le seul multiple de 11 parmi ces chiffres est 77.
Donc a = 7, et b = 6. Donc Jules est né en 1976.
Jules a donc 23ans.
1 + 9 + a + b = 1999 - 1900 - a * 10 - b = 99 - 10a - b
11a * 89 - 2b
a et b sont des chiffres (et non des nombres !), donc 89 - 2b peut valoir 89, 87, 85, 83, 81, 79, 77, 75, 73, 71.
Le seul multiple de 11 parmi ces chiffres est 77.
Donc a = 7, et b = 6. Donc Jules est né en 1976.
Jules a donc 23ans.